11 mayo 2006
Catenaria
- Para el sistema de electrificación de alta potencia de los ferrocarriles, véase Catenaria (ferrocarril).
Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos y que se encuentra sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus, propio de la cadena.
Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena ideal perfectamente flexible, con masa, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La involuta de la catenaria es la tractriz.
Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria. En la siguiente imagen se puede apreciar la diferencia entre las dos curvas, que están desplazadas al origen de coordenadas.
La ecuación fue obtenida por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.
La ecuación de la catenaria es:
Si se desarrolla en series de Taylor la función cosh(x)
se obtiene
que corresponde a la ecuación de una parábola más un término de 4º orden. Es por este motivo que las gráficas son tan parecidas en el entorno de cero.
Aplicaciones
Una curva catenaria invertida es el trazado perfecto para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Gaudí.
Véase también
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